Теория 22

Основные понятия теори СМО

Требование (заявка) — запрос на обслуживание.

Входящий поток требований — совокупность требований, поступающих в СМО.

Время обслуживания — период времени, в течение которого обслуживается требование.

Математическая модель СМО — это совокупность математических выражений, описывающих входящий поток требований, процесс обслуживания и их взаимосвязь.

Потоки событий

Однородный поток

Поток заявок однороден, если:

-все заявки равноправны

-рассматриваются только моменты времени поступления заявок, т.е. факты заявок без уточнения деталей каждой конкретной заявки.

Поток без последействия

Поток без последействия, если число событий любого интервала времени (t, t+x) не зависит от числа событий на любом другом непересекающемся с нашим (t, t+x)интервале времени.

Стационарный поток

Поток заявок стационарен, если вероятность появления n событий на интервале времени (t, t+x) не зависит от времени t, а зависит только от длины этого участка.

Простейший поток

Однородный стационарный поток без последействий является простейшим, потоком Пуассона.

Число n событий такого потока, выпадающих на интервал x, распределено по Закону Пуассона:

Пуассоновский поток заявок удобен при решении задач ТМО. Строго говоря, простейшие потоки редки на практике, однако многие моделируемые потоки допустимо рассматривать как простейшие.  

Математическая модель простейшего Пуассоновского потока

На практике чаще всего ограничиваются рассмотрением простейшего (Пуассоновского) потока заявок.

Поток событий, обладающий свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия, называется простейшим (или стационарным Пуассоновским) потоком . Простейшим этот поток назван потому, что исследование систем, находящихся под воздействием простейших потоков, проводится самым простым образом.

Для простейшего потока событий вероятность того, что на участке времени длины τ наступит ровно k событий, имеет распределение Пуассона с параметром α=λτ:

(k=0, 1, 2, ...), где λ – интенсивность потока событий.

Физический смысл λ – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени (число заявок в единицу времени); размерность – 1/время.

Распределение интервалов между заявками для простейшего потока будет экспоненциальным (показательным) с функцией распределения вероятностей и функцией плотности распределения вероятностей соответственно:

Математическое ожидание и дисперсия длины интервала времени между последовательными моментами поступления событий соответственно:

   

Свойства простейшего пуассоновского потока

Ординарность. Поток называется ординарным, если события в нем происходят по одному, а не группами по 2, 3 и т.д. Ординарность потока означает, что вероятность попадания на элементарный участок Δt двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него ровно одного события, т.е. при Δt→0 эта вероятность представляет собой бесконечно малую высшего порядка:

Для ординарного потока можно пренебречь возможностью совместного появления на элементарном участке двух и более событий. В каждый момент времени в систему может поступать не более одной заявки.

Примерами ординарных потоков событий могут служить поток деталей, поступающих на конвейер для сборки; поток отказов технического устройства и т.д. Пример неординарного потока – поток пассажиров, прибывающих в лифте на данный этаж. Если в неординарном потоке события происходят только парами, тройками и т.д., то рассматривают ординарный поток пар, троек и т.д.

Отсутствие последействия. Для любых не перекрывающихся участков времени τ₁, τ₂,…,τ_n-1, τ_n …, числа событий X₁=X(t₁, τ₁), X₂=X(t₂, τ₂),… X_n=X(t_n, τ_n), попадающих на эти участки, представляют собой независимые случайные величины, т.е. вероятность попадания любого числа событий на один из участков не зависит от того, сколько их попало на другие.

Отсутствие последействия означает, что для любого момента времени t0, будущие моменты наступления события потока (при t>t0 ) не зависят от того, в какие моменты наступали события в прошлом (при t<t0).

Ординарный поток событий, в котором отсутствует последействие, называется пуассоновским потоком.

Стационарность. Поток событий называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются со временем. В частности, для стационарного потока событий вероятность попадания того или иного числа событий на участок длины τ зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где именно на оси времени 0t этот участок расположен. Это значит, что числа событий X₁=X(t₁, τ₁) и X₂=X(t₂, τ₂), попадающих на два участка одинаковой длины, будут иметь одинаковые распределения. Отсюда следует, в частности, что для стационарного потока событий его интенсивность λ(t) постоянна.