Марковский случайный процесс[]
Случайный процесс, протекающий в системе S, называется марковским (или «процессом без последействия»), если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем (при t >) зависит только от ее состояния в настоящем (при t=) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т. е. как развивался процесс в прошлом).
Другими словами, в марковском случайном процессе будущее развитие зависит только от его настоящего состояния и не зависит от «предыстории» процесса.
Рассмотрим элементарный пример марковского случайного процесса. По оси абсцисс случайным образом перемещается точка . В момент времени точка находится в начале координат и остается там в течение одной секунды. Через секунду бросается монета; если выпал герб - точка перемещается на одну единицу длины вправо, если цифра - влево. Через секунду снова бросается монета и производится такое же случайное перемещение, и т. д. Процесс изменения положения точки (или, как говорят, «блуждания») представляет собой случайный процесс с дискретным временем и счетным множеством состояний
Схема возможных переходов для этого процесса.
Покажем, что этот процесс - марковский. Действительно, представим себе, что в какой-то момент времени система находится, например, в состоянии - на одну единицу правее начала координат. Возможные положения точки через единицу времени будут и с вероятностями 1/2 и 1/2; через две единицы - , , с вероятностями 1/4, ½, 1/4 и так далее. Очевидно, все эти вероятности зависят только от того, где находится точка в данный момент , и совершенно не зависят от того, как она пришла туда.
Поток событий[]
Потоком событий называется последовательность однородных событий, происходящих в какие-то, вообще говоря, случайные моменты времени.
Поток событий называется простейшим потоком событий, если он обладает следующими свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности:
1. Поток событий называется стационарным, если вероятность появления одного или нескольких событий на участке времени длины T зависит только от длины T этого участка и не зависит от того, в каком месте оси времени этот участок располагается.
2. Поток событий называется потоком с отсутствием последействия (без последействия), если события, составляющие поток, появляются в случайные моменты времени независимо друг от друга.
3. Поток событий называется ординарным, если события, составляющие поток, происходят поодиночке, а не парами, тройками и т.д.
Интенсивностью (плотностью) потока событий называется среднее число событий, происходящих в единицу времени.
Простейший поток событий близко связан с распределением Пуассона.
Формула Пуассона
Вероятность того, что на отрезке времени длины T произойдет ровно k событий из простейшего потока с интенсивностью λ , выражается формулой Пуассона.
Длина отрезка времени между последовательными событиями из простейшего потока событий с интенсивностью λ является случайной величиной, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром λ.
Плотность показательного распределения определяется по формуле
Плотность показательного распределения